如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A.与y轴交于点B．(1)求此抛物线的解析式,(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点.过点P作x轴的垂线.垂足为点F.交直线AB于点E.作PD⊥AB于点D．①过点P在什么位置时.△PDE的周长最大.求出此时P点的坐标,②连接PA.以PA为边作正方形APMN.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时.求出对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．

分析（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；
②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），C（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以，抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
当△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=$\frac{21}{4}$时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=-$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴点P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）时，△PDE的周长最大；

②抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为直线x=-$\frac{-2}{2×（-1）}$=-1，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APF=∠QPM}\\{∠AFP=∠MQP=90°}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=-1-n，
即PF=-1-n，
∴点P的坐标为（n，-1-n），
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-n²-2n+3=-1-n，
整理得，n²+n-4=0，
解得n₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），n₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
-1-n=-1-$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
所以，点P的坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；

（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
设点P坐标为P（x，-x²-2x+3），
则有-x²-2x+3=-1-（-3）=2，
解得x=$\sqrt{2}$-1（不合题意，舍去）或x=-$\sqrt{2}$-1，
此时点P坐标为（-$\sqrt{2}$-1，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（-$\sqrt{2}$-1，2）．

点评本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．

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