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16.(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,求证:$\frac{CD}{AC}$+$\frac{CD}{BC}$为定值;
(2)如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,O是对角线AC与BD的交点,过点O作BC的平行线交AB于F,求证O是EF的中点,并且$\frac{EF}{AD}$+$\frac{EF}{BC}$为定值.

分析 (1)作辅助线,构建四边形ECFD,证明四边形ECFD是正方形,根据DE∥BC和DF∥AC列比例式得①②式:相加得:$\frac{EC}{AC}+\frac{CF}{BC}$=$\frac{BD+AD}{AB}$=1,根据△ECD是等腰直角三角形得:EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD,代入可得结论;
(2)根据AD∥BC∥EF,得比例式:$\frac{EO}{AD}=\frac{EB}{AB}$,$\frac{FO}{AD}=\frac{FC}{CD}$,$\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{CD}$,得EO=FO,根据EF∥AD得比例式①和②,同(1)得:相加后化简得结论.

解答 证明:(1)如图1,过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,
∵CD平分∠ACB,
∴ED=FD,
∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,
∴四边形ECFD是矩形,
∵ED=FD,
∴四边形ECFD是正方形,
∴EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD,
∵DE∥BC,
∴$\frac{EC}{AC}=\frac{BD}{AB}①$,
同理得:$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}②$,
①+②得:$\frac{EC}{AC}+\frac{CF}{BC}$=$\frac{BD+AD}{AB}$=1,
∵EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD,
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}CD}{AC}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}CD}{BC}$=1,
∴$\frac{CD}{AC}+\frac{CD}{BC}$=$\sqrt{2}$;
(2)如图2,∵AD∥BC,EF∥BC,
∴AD∥BC∥EF,
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{EB}{AB}$,
$\frac{FO}{AD}=\frac{FC}{CD}$,
$\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{CD}$,
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{FO}{AD}$,
∴EO=FO,
∵EO∥AD,
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{BO}{BD}$①,
同理可得:$\frac{FO}{BC}=\frac{OD}{BD}$②,
①+②得:$\frac{EO}{AD}+\frac{FO}{BC}$=$\frac{BO}{BD}+\frac{OD}{BD}$=1,
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF,
∴$\frac{\frac{1}{2}EF}{AD}+\frac{\frac{1}{2}EF}{BC}$=1,
∴$\frac{EF}{AD}+\frac{EF}{BC}$=2.

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形和正方形的性质和判定,有难度,本题证明的结论是定值问题,因此从平行线分线段成比例定理得比例式入手,运用类比的方法,将所得比例式①和②相加并进一步化简得出结论.

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