Question

11．如图所示，已知A（$\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y=$\frac{1}{x}$图象上的两点，动点P在x轴的非负半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（　　）

• A． $（{\frac{5}{2}，0}）$
• B． （3，0）
• C． $（{\frac{7}{2}，0}）$
• D． （4，0）

Answer 1

分析 先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

解答 解：∵把A（ $\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）代入反比例函数y=$\frac{1}{x}$得：y₁=2，y₂=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，2），B（2，$\frac{1}{2}$）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{1}{2}a+b}\\{\frac{1}{2}=2a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式是y=-x+$\frac{5}{2}$，
当y=0时，x=$\frac{5}{2}$，即P（$\frac{5}{2}$，0）；
故选A．

点评 本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置．