Question

【题目】如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN2=AMAD；③MN=3﹣ ；④S△EBC=2 ﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴ ，
∴AE2=AMAD；
∴AN2=AMAD；故②正确；
∵AE2=AMAD，
∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），
∴MN=3﹣ ；故③正确；
在正五边形ABCDE中，

∵BE=CE=AD=1+ ，
∴BH= BC=1，
∴EH= = ，
∴S△EBC= BCEH= ×2× = ，故④错误；
故选C．
【考点精析】本题主要考查了正多边形和圆和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；圆的外切四边形的两组对边的和相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．