Question

【题目】小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角顶点C放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E．

（1）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是　 　；

（2）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论．

（3）将三角板ABC继续绕C点逆时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论　 　．

Answer 1

【答案】（1）DE＝BE+AD；（2）DE＝AD﹣BE，证明详见解析；（3）DE＝AD+BE或DE＝|AD﹣BE|．

【解析】

（1）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的和即可得出结论；
（2）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的差即可得出结论；
（3）先判断出∠CAD=∠BCE，进而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用线段的和差即可得出结论．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CD+CE＝BE+AD；

故答案为：DE＝BE+AD；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

（3）如图3，

当点A，B在直线m同侧时，同（1）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CE+CD＝AD+BE，

Ⅰ、当点A，B在直线m异侧时，如图4，同（2）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

Ⅱ、如图5，

同Ⅰ的方法得，

故答案为：DE＝AD+BE或