【题目】如图,已知四边形ABCD是正方形,△AEF是等边三角形,E,F分别位于DC边和BC边上.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若正方形ABCD的边长为1,求等边三角形AEF的面积;
(3)将△AEF绕着点E逆时针旋转m(0<m<180)度,使得点A落在正方形ABCD的边上,求m的值.
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,AF=AE,∠B=∠D=90°,
在Rt△ABF与Rt△ADE, ,
∴Rt△ABF≌Rt△ADE,
∴∠DAE=∠BAF
又∠DAE+∠BAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣60°=30°
∴∠DAE=15°;
(2)解:设BF=x,由(1)可知DE=BF=x,则CF=CE=1﹣x
∴AB2+BF2=AF2,CF2+CE2=EF2,AF=EF,
即:12+x2=2(1﹣x)2
∴x1=2+ ,x2=2 ,
∵0<x<1,
∴x1=2+ (舍去),x=2 ,
∴S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC=12﹣2× 1×(2﹣ )﹣ ( ﹣1)2=2 ﹣3;
(3)解:依题意,点A可落在AB边上或BC边上.
①当点A落在AB边上时,设此时点A的对应点为M,则EA=EM,
∵∠EAB=75°,
∴∠AME=75°,
∴m=∠AEM=180°﹣75°﹣75°=30°,
②当点A落在边BC上时,
∵EA=EF,点A旋转后与点F重合,
∴m=∠AEF=60°,
综上,m=30°或m=60°.
【解析】(1)由正方形性质得AB=AD,AF=AE,∠B=∠D=90°,再根据直角三角形的判定得Rt△ABF≌Rt△ADE(HL),由全等三角形的性质得∠DAE=∠BAF,由等边三角形和正方形的性质得∠DAE的度数.
(2)设BF=x,由(1)知DE=BF=x,则CF=CE=1﹣x,由勾股定理得AB2+BF2=AF2,CF2+CE2=EF2,AF=EF,即12+x2=2(1﹣x)2(0<x<1),
求出x=2 ,再由S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC求出即可.
(3)依题分两种情况来分析:①当点A落在AB边上时,设此时点A的对应点为M,则EA=EM;②当点A落在边BC上时;根据旋转的性质和三角形内角和定理即可求出答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识,掌握三角形的面积=1/2×底×高,以及对等边三角形的性质的理解,了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.
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【题目】如图,四边形ABCD所在的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)请画出将四边形ABCD向上平移5个单位长度,再向左平移2个单位长度后所得的四边形A′B′C′D′.
(2)求线段AB扫过的面积。
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【题目】如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=10cm,点P从B点开始向C点运动速度是每秒1cm,设运动时间是t秒,
(1)用含t的代数式来表示三角形ACP的面积.
(2)当三角形ACP的面积是三角形ABC的面积的一半时,求t的值,并指出此时点P在BC上的什么位置?
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【题目】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起(其中,,),固定三角板,另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转,设旋转的角度为.
(1)当时;
①若,则的度数为 ;
②若,求的度数;
(2)由(1)猜想与的数量关系,并说明理由;
(3)当时,这两块三角尺是否存在一组边互相垂直?若存在,请直接写出所有可能的值,并指出哪两边互相垂直(不必说明理由);若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,则下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的是( )
A. AC=AD B. BC=BD C. ∠C=∠D D. ∠3=∠4
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【题目】随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:
收费方式 | 月使用费/元 | 包时上网时间/h | 超时费/(元/min) |
A | 7 | 25 | 0.01 |
B | m | n | 0.01 |
设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB.
(1)如图是yB与x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m= ;n=
(2)写出yA与x之间的函数关系式.
(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?
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【题目】五一假期过后,小明到校后发现忘记带数学课本,一看手表,离上课还有20分钟,他立刻步行返回家中取书,同时,他的父亲也发现小明忘记带数学课本,带上课本立刻以小明步行速度的2倍骑车赶往学校.父子在途中相遇,小明拿到课本后马上按原速步行返回学校,到校后发现迟到了4分钟.如图是父子俩离学校的路程s(米)与所用时间t(分)之间的函数关系,请结合图像,回答下列问题:
(1)两人相遇处离学校的距离是多少米?
(2)试求小明的父亲在赶往学校的过程中,路程s与时间t之间的函数表达式;
(3)假如小明父子相遇拿到课本后,改由他的父亲骑车搭他到学校,他会迟到吗?如果会,迟到几分钟;如果不会,能提前几分钟到校?
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【题目】(1)已知2x﹣1的平方根是±6,2x+y﹣1的算术平方根是5,求2x﹣3y+11的立方根.
(2)已知x是1的平方根,求代数式(x2017﹣1)(x2018﹣712)(x2019+1)(x2020+712)+1000x的立方根.
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【题目】如图①,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图②);
(3)在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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