Question

【题目】已知△ABC为等边三角形，D为直线AC上一点，延长BC至E，使CE=AD，联结BD，DE．

（1）如图（a），当D为边AC的中点时，求证：△BDE为等腰三角形．

（2）如图（b），当点D在边AC上，但不是边AC的中点时，△BDE还是等腰三角形吗?如果是，请给予证明；如果不是，说明理由．

（3）当点D在边AC的延长线上时，在图（c）中画出相应的图形，△BDE还是等腰三角形吗?请直接写出结论，不必证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△BDE还是等腰三角形，理由见解析；（3）△BDE还是等腰三角形，见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，由DA＝DC，CE=AD可得CD＝CE，推出∠E＝∠CDE，再利用∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°得到∠E＝30°，根据等边三角形性质得∠DBC＝∠ABC＝30°，故可得△BDE为等腰三角形；

（2）作DM∥BC交AB于M，根据等边三角形的性质得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠DCE＝120°，由DM∥BC得∠AMD＝60°，易得△AMD为等边三角形，则AD＝DM＝AM，而AD＝CE，则DM＝EC，然后推出MB＝DC，利用“SAS”可判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，即可得到 △BDE为等腰三角形；

（3）作DM∥BC交AB的延长线于M，易证△AMD为等边三角形，则AM＝AD＝MD，∠M＝60°，可得到BM＝CD，而AD＝CE，所以MD＝CE，加上∠M＝∠ECD＝60°，于是可根据“SAS”判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，即可得到 △BDE为等腰三角形.

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵DA＝DC，CE=AD，

∴CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

而∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°，

∴∠E＝30°，

∵∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴DB＝DE，

∴△BDE为等腰三角形；

（2）△BDE为等腰三角形仍然成立．

理由如下：作DM∥BC交AB于M，如图2，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∠DCE＝120°，

∵DM∥BC，

∴∠AMD＝60°，

∴∠BMD＝120°，△AMD为等边三角形，

∴AD＝DM＝AM，

∵AD＝CE，

∴DM＝EC，

∴ABAM＝ACAD，

∴MB＝DC，

在△BMD和△DCE中

∴△BMD≌△DCE（SAS），

∴BD＝DE，

∴△BDE为等腰三角形；

（3）△BDE还是等腰三角形．

理由如下：

如图3，作DM∥BC交AB的延长线于M，

易证△AMD为等边三角形，

∴AM＝AD＝MD，∠M＝60°，

∴AB＝AC，

∴BM＝CD，

∵AD＝CE，

∴MD＝CE，

∵∠ECD＝∠ACB＝60°，

∴∠M＝∠ECD，

在△BMD和△DCE中

∴△BMD≌△DCE（SAS），

∴BD＝DE，

∴△BDE为等腰三角形.