Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．
（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？
（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，

当0＜x＜6时，

S△ABC= ×ACBC= ×6×8=24，

即： ×（8﹣x）×（6﹣x）= ×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

当6＜x＜8时，

×（8﹣x）×（x﹣6）= ×24，

x2﹣14x+72=0，

b2﹣4ac=196﹣288=﹣92＜0，

∴此方程无实数根，

当x＞8时，

S△ABC= ×ACBC= ×6×8=24，

即： ×（x﹣8）×（x﹣6）= ×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半

（2）解：设t秒后△BPQ是等腰三角形，

①当BP=BQ时，t2=62+（8﹣t）2，

解得：t= ；

②当PQ=BQ时，（6﹣t）2+（8﹣t）2=62+（8﹣t）2，

解得：t=12；

③当BP=PQ时，t2=（6﹣t）2+（8﹣t）2，

解得：t=14±4 ．

【解析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当0＜x＜6时，当6＜x＜8时，当x＞8时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）分别根据①当BP=BQ时，②当PQ=BQ时，③当BP=PQ时，利用勾股定理求出即可．