Question

8．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上且坐标是（0，2），点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x轴上，C₁的坐标是（1，0），B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，以此继续下去，则点A₂₀₁₅到x轴的距离是$\frac{3}{{2}^{2014}}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理可得正方形A₁B₁C₁D₁的边长为$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的$\frac{1}{2}$，依次得到第2015个正方形和第2015个正方形的边长，进一步得到点A₂₀₁₅到x轴的距离．

解答 解：如图，∵点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x轴上，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴△B₁OC₁∽△B₂E₂C₂∽B₃E₄C₃…，△B₁OC₁≌△C₁E₁D₁，…，
∴B₂E₂=1，B₃E₄=$\frac{1}{2}$，B₄E₆=$\frac{1}{4}$，B₅E₈=$\frac{1}{8}$…，
∴B₂₀₁₅E₄₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2013}}$，

作A₁E⊥x轴，延长A₁D₁交x轴于F，
则△C₁D₁F∽△C₁D₁E₁，
∴$\frac{{D}_{1}F}{{D}_{1}{E}_{1}}=\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{{C}_{1}{E}_{1}}$，
在Rt△OB₁C₁中，OB₁=2，OC₁=1，
正方形A₁B₁C₁D₁的边长为$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴D₁F=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴A₁F=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵A₁E∥D₁E₁，
∴$\frac{{A}_{1}E}{{D}_{1}{E}_{1}}=\frac{{A}_{1}F}{{D}_{1}F}$，
∴A₁E=3，
∴$\frac{{A}_{1}E}{{B}_{1}O}=\frac{3}{2}$，
∴点A₂₀₁₅到x轴的距离是$\frac{1}{{2}^{2013}}×\frac{3}{2}=\frac{3}{{2}^{2014}}$，
故答案为$\frac{3}{{2}^{2014}}$

点评 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．