【题目】如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y=﹣ x+b过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;
(3)连接OF、OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明;
(4)若点P是x轴上的动点,点Q是(1)中的反比例函数在第一象限图象上的动点,且使得△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)反比例函数的解析式y=; (2)点F的坐标为(2,4);(3)∠AOF=∠EOC, 理由见解析;(4)P的坐标是( ,0)或(﹣5,0).
【解析】试题分析:(1)设反比例函数的解析式为y= ,把点E(3,4)代入即可求出k的值,进而得出结论;
(2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D(4,3),由点D在直线y=- x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标;
(3)在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG,△EGB≌△HGC(ASA),故可得出EG=HG.设直线EG的解析式为y=mx+n,把E(3,4),G(4,2)代入即可求出直线EG的解析式,故可得出H点的坐标,在Rt△AOF中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5,可知OC=OE,即OG是等腰三角形底边EF上的中线.所以OG是等腰三角形顶角的平分线,由此即可得出结论;
(4)分△PDQ的三个角分别是直角,三种情况进行讨论,作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,作DL⊥QR,于点L,即可构造全等的直角三角形,设出P的坐标,根据点在图象上,则一定满足函数的解析式即可求解.
试题解析:(1)设反比例函数的解析式y= ,
∵反比例函数的图象过点E(3,4),∴4= ,即k=12,
∴反比例函数的解析式y=;
(2)∵正方形AOCB的边长为4,
∴点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4.
∵点D在反比例函数的图象上,
∴点D的纵坐标为3,即D(4,3),
∵点D在直线y=﹣ x+b上,
∴3=﹣×4+b,
解得:b=5,
∴直线DF为y=﹣x+5,
将y=4代入y=﹣x+5,得4=﹣x+5,
解得:x=2,
∴点F的坐标为(2,4);
(3)∠AOF=∠EOC,
理由如下:在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,
∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=90°,AF=CG=2,
∴△OAF≌△OCG(SAS).
∴∠AOF=∠COG.
∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=90°,BG=CG=2,
∴△EGB≌△HGC(ASA).∴EG=HG.
设直线EG:y=mx+n,
∵E(3,4),G(4,2),
∴ ,解得 ,
∴直线EG:y=﹣2x+10.
令y=﹣2x+10=0,得x=5.
∴H(5,0),OH=5.
在Rt△AOE中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5.
∴OH=OE.
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线.
∴OG是等腰三角形顶角的平分线.
∴∠EOG=∠GOH.
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF=∠EOC;
(4)P的坐标是( ,0)或(﹣5,0).
当Q在D的右侧(如图1),且∠PDQ=90°时,作DK⊥x轴,作QL⊥DK,于点L.
则△DPK≌△QDK,
设P的坐标是(a,0),则KP=DL=4﹣a,QL=DK=3,则Q的坐标是(4+3,4﹣3+a)即(7,﹣1+a),
把(7,﹣1+a)代入y= 得:7(﹣1+a)=12,
解得:a=,
则P的坐标是(,0);
当Q在D的左侧(如图2),且∠PDQ=90°时,作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,作DL⊥QR,于点L,
则△QDL≌△PDK,
则DK=DL=3,设P的坐标是b,则PK=QL=4﹣b,则QR=4﹣b+3=7﹣b,OR=OK﹣DL=4﹣3=1,
则Q的坐标是(1,7﹣b),代入y=得:b=﹣5,则P的坐标是(﹣5,0);
总之,P的坐标是(,0)或(﹣5,0).
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