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【题目】如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E34).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y= x+b过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;

(3)连接OFOE,探究AOFEOC的数量关系,并证明;

(4)若点Px轴上的动点,点Q是(1)中的反比例函数在第一象限图象上的动点,且使得PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点P的坐标.

【答案】(1)反比例函数的解析式y=; (2)点F的坐标为(2,4);(3)AOF=EOC, 理由见解析;(4)P的坐标是( ,0)或(﹣5,0).

【解析】试题分析:(1)设反比例函数的解析式为y= ,把点E(3,4)代入即可求出k的值,进而得出结论;

(2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D(4,3),由点D在直线y=- x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标;

(3)在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG,△EGB≌△HGC(ASA),故可得出EG=HG.设直线EG的解析式为y=mx+n,把E(3,4),G(4,2)代入即可求出直线EG的解析式,故可得出H点的坐标,在Rt△AOF中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5,可知OC=OE,即OG是等腰三角形底边EF上的中线.所以OG是等腰三角形顶角的平分线,由此即可得出结论;

(4)分△PDQ的三个角分别是直角,三种情况进行讨论,作DK⊥x轴,作QR⊥x轴,作DL⊥QR,于点L,即可构造全等的直角三角形,设出P的坐标,根据点在图象上,则一定满足函数的解析式即可求解.

试题解析:(1)设反比例函数的解析式y=

反比例函数的图象过点E(3,4),4= ,即k=12,

反比例函数的解析式y=

2正方形AOCB的边长为4,

点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4.

点D在反比例函数的图象上,

点D的纵坐标为3,即D(4,3),

点D在直线y=﹣ x+b上,

3=×4+b

解得:b=5,

直线DF为y=﹣x+5

将y=4代入y=﹣x+5,得4=﹣x+5

解得:x=2,

点F的坐标为(2,4);

3AOF=EOC

理由如下:在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,

∵AO=CO=4∠OAF=∠OCG=90°AF=CG=2

∴△OAF≌△OCGSAS).

∴∠AOF=∠COG

∵∠EGB=∠HGC∠B=∠GCH=90°BG=CG=2

∴△EGB≌△HGCASA).∴EG=HG

设直线EG:y=mx+n

∵E34),G42),

,解得

直线EG:y=﹣2x+10

令y=﹣2x+10=0,得x=5.

∴H50),OH=5

Rt△AOE中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5.

∴OH=OE

OG是等腰三角形底边EH上的中线.

OG是等腰三角形顶角的平分线.

∴∠EOG=∠GOH

∴∠EOG=GOC=AOF,即AOF=EOC

(4)P的坐标是( ,0)或(﹣5,0).

当Q在D的右侧(如图1),且PDQ=90°时,作DKx轴,作QLDK,于点L.

△DPK≌△QDK

设P的坐标是(a,0),则KP=DL=4﹣a,QL=DK=3,则Q的坐标是(4+34﹣3+a)即(7,﹣1+a),

把(7,﹣1+a)代入y= 得:7(﹣1+a=12

解得:a=

则P的坐标是(0);

当Q在D的左侧(如图2),且PDQ=90°时,作DKx轴,作QRx轴,作DLQR,于点L,

△QDL≌△PDK

则DK=DL=3,设P的坐标是b,则PK=QL=4﹣b,则QR=4﹣b+3=7﹣bOR=OK﹣DL=4﹣3=1

则Q的坐标是(1,7﹣b),代入y=得:b=﹣5,则P的坐标是(﹣5,0);

总之,P的坐标是(,0)或(﹣5,0).

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