Question

7．如图，将边长为3$\sqrt{3}$+3的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=$\sqrt{3}$，则重叠部分的面积为$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．

解答 解：过点E作EG⊥AB于G，
∴∠EGB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3$\sqrt{3}$+3，
根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=$\frac{1}{2}$∠FDB=45°
∴∠MEC=180°-∠BEF=30°，
∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°，
在Rt△ADN中，AD=$\sqrt{3}$，tan∠A=tan60°=$\frac{DN}{AD}$=$\sqrt{3}$，
∴DN=3，
∴S_△ADN=$\frac{1}{2}$AD•DN=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在△BDE中，DB=AB-AD=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+3，
∵∠EDG=45°，
∴∠DEG=45°，
∴DG=EG，
∵tan∠B=tan60°=$\frac{EG}{BG}$=$\sqrt{3}$，
设EG=x，则DG=x，BG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+3，
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴EG=DG=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•EG=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+3）×$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$=$\frac{27+15\sqrt{3}}{4}$，
∵∠B=∠C=∠F=60°，
∴BE=$\frac{EG}{sin60°}$=3$+\sqrt{3}$，
∴EC=BC-BE=2$\sqrt{3}$，
∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°，
∴∠FNM=∠MEC=30°，
∴∠FMN=∠EMC=90°，
∴EM=EC•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴FM=EF-EM=BE-EM=$\sqrt{3}$，
∴MN=FM•tan60°=3，
∴S_{四边形MNDE}=S_△DEF-S_△MNF=S_△BDE-S_△MNF=$\frac{27+15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质．关键是由已知推出特殊三角形，解直角三角形，由折叠的性质将线段进行转化．