Question

【题目】对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ．

Answer 1

【答案】（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）
【解析】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，由勾股定理得：MN= =2 ，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD=cos∠ONM= ，∴ = ，AB= ，则AD=1，
∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MON，
∴ ，∴ ，∴DG= ，∴CG= + = ，同理可得： ，∴ ，∴DH= ，∴C（ ﹣ ，﹣ ）；②矩形在x轴上方时，同理可得：C（ ， ）；
故答案为：（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）．

根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；
有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（ ， ）．此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．