Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）最大值为

【解析】

（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；

（3）根据题（1）（2）的结论，列出SΔBNC关于m的表达式，再利用函数的性质求解SΔBNC的最大值即可．

解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；

∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，

解得，

故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3），

∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；

（3）如图，

∵S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MNOB，

∴S△BNC＝（﹣m2+3m）3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为．