Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD,∠ADC的平分线DE，交BC于点E.

证明：①EC＝EB；②AE⊥DE．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝EF，再求出BE＝EF，从而得出结论．

（2）证AE是∠DAB的角平分线，即可求出答案．

证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，

∵∠B＝90°，DE平分∠CDA，

∴CE＝EF，

又∵DE=DE,

∴RtDCE≌RtDFE.

∴DC=DF.

∵AD＝AB+CD=DF+AF,

∴AB=AF.

又∵AE=AE，

∴RtAEB≌RtAFE.

∴EB=EF.

∴EB=CE.

（2）∵EB=CE，EF⊥AD，AB⊥BC，

∴AE平分∠BAD.

∵∠C＝∠B＝90°，

∴∠D+∠B＝180°，

∴DC∥AB，

∴∠CDA+∠BAD＝180°，

∵DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，

∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠CDA，

∴∠EAD+∠EDA＝90°，

∴∠AED＝180°﹣90°＝90°．

∴AE⊥DE.