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【题目】对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:

第一步:先对折,使ADBC重合,得到折痕MN,展开;

第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA′,EA′,展开,如图1;

第三步:再沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,得到折痕EF,同时得到线段B′F,展开,如图2.

求证:(1)∠ABE=30°;

(2)四边形BFB′E为菱形.

1 2

【答案】(1)30°;(2)见解析

【解析】

(1)由折叠的性质易得:∠ABE=∠A′BE,MAB的中点,A′EF的中点,∠EA′B=∠A=90°,由此可得BA′EF的垂直平分线,从而可得BE=BF,由此可得∠A′BE=∠A′BF,从而可得∠ABE=∠A′BE=∠A′BF,这样结合∠ABC=90°即可得到∠ABE=∠ABC=30°;

(2)由已知条件结合折叠的性质可得:BE=B′E,BF=B′F,这样结合(1)中所得BE=BF即可得到四边形BFB′E的四边相等由此即可得到四边形BFB′E是菱形.

(1)∵对折使ADBC重合,折痕是MN,

∴MAB的中点,

∴A′EF的中点.

∵∠BA′E=∠A=90°,

∴BA′垂直平分EF,

∴BE=BF,

∴∠A′BE=∠A′BF.

由翻折的性质,知∠ABE=∠A′BE,

∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF,

∴∠ABE=∠ABC=×90°=30°;

(2)∵沿EA′所在的直线折叠,

B落在AD上的点B′处,

∴BE=B′E,BF=B′F.

∵BE=BF,

∴BE=B′E=B′F=BF,

四边形BFB′E为菱形.

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