Question

如图1，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，把△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，DE交BC于点M，连接AM．

（1）求证：∠AMB=∠AME；
（2）如图2，AD交BC于H，在边AE上取一点G，使DH=EG，连接GC，求点A到直线CG的距离．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转的性质

专题：常规题型

分析：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AN⊥DE，垂足为N．由题意：△ABC≌△ADE，∴AF=AN，然后由“HL”定理证明Rt△AFM≌Rt△ANM即可．
（2）过点A作AP⊥CG，垂足为P，由△ABC≌△ADE，AB=AC，得到AD=AE，∠BAC=∠DAE，又因为DH=EG，∠DAC=∠DAC，所以AH=AG，∠BAH=∠CAG，进而得到△ABH≌△ACG（SAS），∴AF=AP，然后由勾股定理求出AF即可．

解答：（1）证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AN⊥DE，垂足为N．
由题意：把△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，
∴AF=AN，
∵AF⊥BC，AN⊥DE，
∴∠AFM=∠ANM=90°，
在Rt△AFM和Rt△ANM中，

AM=AM(公共边) AF=AN(已证)

，
∴Rt△AFM≌Rt△ANM（HL）．
∴∠AMB=∠AME（全等三角形的对应角相等）．
（2）过点A作AP⊥CG，垂足为P，
∵△ABC≌△ADE，AB=AC，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∵DH=EG，∠DAC=∠DAC，
∴AD-DH=AE-GE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：AH=AG，∠BAH=∠CAG，
在△ABH和△ACG中，

AH=AG ∠BAH=∠CAG AB=AC

，
∴△ABH≌△ACG（SAS）
∴AF=AP，
在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∵AF⊥BC，
∴BF=FC=

1

2

BC=5，
在Rt△ABF中，
由勾股定理得：AF²=AB²-BF²=13²-5²=144，
∴AF=12，
∴AP=AF=12，
即点A到直线CG的距离为12．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，重点应用全等三角形的对应高相等，解决问题．