Question

20．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连结BE，DG．
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3$\sqrt{2}$．
①求BE的长；
②求点A到BE的距离；
（3）当点C落在直线BE上时，连结FC，直接写出∠FCD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2））①作BN⊥AE于点N，根据勾股定理得出AN=BN=$\sqrt{2}$，在△BEN中，根据勾股定理即可得出结论；②作AM⊥BE于点M，根据S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$BE•AM=3即可得出结论；
（3）分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F四点共圆求解，②E在BC的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F四点共圆求解．

解答 解：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，
又∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE与△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠BAE=∠DAG=α}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）①如图3，作BN⊥AE于点N，
∵∠BAN=45°，AB=2，
∴AN=BN=$\sqrt{2}$．
∵BN=$\sqrt{2}$，NE=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴在△BEN中，BE=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$；
②如图，作AM⊥BE于点M，则S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$BE•AM，
即$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×AM，
解得AM=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，
即点A到BE的距离为$\frac{3}{5}\sqrt{10}$；

（3）解：∠FCD的度数为45°或135°．
①如图4，连接AC，AF，CF，
∵四边形ABCD与AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFE=45°，
∵∠DCE=90°
∴点A，C，E，F四点共圆，
∵∠AEF是直角，
∴AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠FCD=45°
②如图5，连接AC，AF，FG，CG
由（1）知△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG=90°，
∴DG和CG在同一条直线上，
∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，
∵四边形ABCD与AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠FAG=45°，
∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，
∴∠AGD+∠GAC=45°，
∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，
∴点A，C，G，F四点共圆，
∵∠AGF是直角，
∴AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∴∠FCD=90°+45°=135°
综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．

点评 本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，面积法的运用及四点共圆周的综合应用，解题的关键是作辅助线，运用面积法及四点共圆的判定及性质求解．