Question

【题目】已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．

（1）求证： ；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴ ，即BCAE=AGBF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ①

（2）

连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴ ．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
设AG=x，则 ，解得

∴AG= ，代入①中可得：BF=

【解析】欲证 ，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
【考点精析】本题主要考查了正多边形和圆的相关知识点，需要掌握圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；圆的外切四边形的两组对边的和相等才能正确解答此题．