Question

如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知=．

（1）求证：BE=DE；

（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．

Answer 1

【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF=OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）∵=，

∴AB=CD，

在△ABE与△CDE中，，

∴△ABE≌△CDE，

∴BE=DE；

（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，

根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，

∵AD=BC，

∴AF=OG，

在Rt△AOF与Rt△OCG中，，

∴Rt△AOF≌Rt△OCG，

∴OF=OG，

∵AD⊥CB，

∴四边形OFEG是正方形，

∴OF=EF，

设OF=EF=x，

则AF=FD=x+1，

∴OF²+AF²=OA²，

即：x²+（x+1）²=5²，

解得：x=3，x=﹣4（舍去），

∴AF=4，

∴AE=7．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键．