Question

在小于100的正整数n中，能使分数

1

(3n+32)(4n+1)

化为十进制有限小数的n的所有可能值为

 

．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算,质因数分解

专题：推理填空题

分析：由分数

1

(3n+32)(4n+1)

可化为十进制有限小数可知：（3n+32）（4n+1）分解的质因数中除了2和5以外不含有其他的质因数，因而4n+1可表示为5^k（k为正整数），然后根据n的范围确定k的值，就可解决问题．

解答：解：由题可知：（3n+32）（4n+1）分解的质因数中除了2和5以外不含有其他的质因数．
∵4n+1是奇数，
∴4n+1可写成5^k（k为正整数），即4n+1=5^k（k为正整数）．
∵1≤n＜100，
∴4≤4n＜400．
∴5≤4n+1＜401，即5≤5^k＜401．
∴1≤k＜4（k为正整数）．
∴k取1，2，3．
当k=1时，4n+1=5，n=1，此时3n+32=35=5×7，故舍去；
当k=2时，4n+1=5²，n=6，此时3n+32=50=2×5×5，符合要求；
当k=3时，4n+1=5³，n=31，此时3n+32=125=5×5×5，符合要求．
综上所述：符合要求的n有6和31．
故答案为：6、31．

点评：本题主要考查了质因数分解、最简分数可化为有限小数的条件、不等式的性质等知识，而知道最简分数可化为有限小数的条件（分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数）是解决本题的关键．