Question

△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在BC边上找一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等．
（1）找出点P的位置（尺规作图）．
（2）求BP的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理,作图—基本作图

专题：

分析：（1）作∠CAB的平分线，交BC于点P，过点P作PD⊥AB于D，则PC=PD；
（2）先利用HL证明Rt△ADP≌Rt△ACP，得出AD=AC=3，再设PC=x，则PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理得出（4-x）²=x²+2²，解得：x=1.5，进而求出BP的值．

解答：解：（1）如图，点P即为所求；
 
（2）∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中，

AP=AP PD=PC

，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=3．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=5，
∴BD=5-3=2．
设PC=x，则PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理，得
（4-x）²=x²+2²，
解得：x=1.5，
∴BP=4-1.5=2.5．
答：BP的长为2.5．

点评：本题考查了勾股定理的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等和运用勾股定理建立方程求解是关键．