Question

已知，如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E、F，FG⊥AB垂足为点G．求证：CE=FG．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先根据角平分线的性质得出CF=FG，由HL定理得出△ACF≌△AGF，故可得出∠AFC=∠AFG，再由平行线的性质得出∠AFG=∠AED，由对顶角相等可知∠AED=∠CEF，故可得出∠CEF=∠AFC，由此可得出结论．

解答：证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，FG⊥AB，
∴CF=FG．
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
∵

AF=AF CF=FG

，
∴△ACF≌△AGF（HL），
∴∠AFC=∠AFG．
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠AFG=∠AED．
∵∠AED与∠CEF是对顶角，
∴∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF，
∴CE=FG．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．