Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）连接PC，
∵A（-4，0），B（1，0）
∴AB=5
∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心
∴PC=PA=，OP=4-=．
∴OC===2
∴C（0，2）．
设经过A、B、C三点的抛物线为y=a（x-1）（x+4），
∴-2=a（0-1）（0+4）
∴a=
∴抛物线为y=（x-1）（x+4），
即y=x²+x-2．

（2）将y=x²+x-2配方，得y=（x+）²-，
∴顶点M为（-，-）．
设直线MC为y=kx+b，则有，
解得．
∴直线MC为y=x-2．

（3）直线MC与⊙P相切．
设MC与x轴交于点N，
在y=x-2中，令y=0，得x=．
∴ON=，PN=+=，CN===．
∴CN²+PC²=（）²+（）²=（）²=PN²．
∴∠PCN=90度．
∴MC与⊙P相切．
分析：（1）根据相交弦定理推论可得出OC²=OA•OB，即可求出C点坐标．然后用待定系数法求解即可．
（2）先根据（1）的抛物线求出M的坐标，然后根据M、C的坐标用待定系数求出直线MC的解析式．
（3）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接PC，证PC是否与MC垂直即可．（本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标，然后分别求出PN，PC，CN的长，用勾股定理进行判断）．
点评：本题考查了二次函数、一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的判定等知识．