Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2$\sqrt{2}$，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 遇切线，想直角；根据切线，可得∠ADO=90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积=2×（三角形的面积减扇形的面积），计算即可．

解答 解：如右图，连接OD，
∵AC与⊙O相切，${S}_{阴影}=2（\frac{1}{2}×1×1-\frac{45π×{1}^{2}}{360}）=2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=1-\frac{π}{4}$
∴∠ADO=90°，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AOD=45°，
∵O是AB的中点，AB=$2\sqrt{2}$，
∴OA=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，∠A=45°，OA=$\sqrt{2}$，
∴OD=cos45°•OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1，
∴${S}_{阴影}=2（\frac{1}{2}×1×1-\frac{45π×{1}^{2}}{360}）=2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=1-\frac{π}{4}$．
故答案为：1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题是切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形的面积、扇形的面积的综合应用，根据已知条件求出圆的半径是解决此题的关键．