Question

矩形ABCD中，AB=3AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）由矩形ABCD中，可得∠A=∠D=90°，又由EF⊥EC，易得∠AFE=∠DEC，则可证得△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，矩形ABCD中，AB=3AD，E为AD的中点，根据相似三角形的对应边成比例，即可得：EF：CE=1：6，则可求得tan∠ECF的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵AB=3AD，E为AD的中点，
∴AE：DC=1：6，
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

DC

=

1

6

，
∴tan∠ECF=

EF

CE

=

1

6

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．