Question

1．如图，反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$，（k＞0）与一次函数y₂=-x+5交于A（2，n）、B两点（A点在B点左边）
（1）求反比例函数y₁的解析式和B的坐标；
（2）平移y₂的图象，使得平移后的直线交反比例函数y₁的图象于E、F两点（E点在F点左边），若EF=2AB，直接写出点E的横坐标（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．

Answer 1

分析 （1）由点A的横坐标结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A的坐标，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数y₁的解析式，再联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）设平移后直线EF的解析式为y=-x+b，将其代入反比例函数解析式中即可得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出x_E+x_F=b、x_E•x_F=6，由EF∥AB结合EF=2AB，即可得出关于b的方程，解之即可得出b值，再利用求根公式即可求出点E的横坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点E的坐标．

解答 解：（1）∵点A（2，n）在一次函数y₂=-x+5的图象上，
∴n=-2+5=3，
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A（2，3）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数y₁的解析式为y₁=$\frac{6}{x}$．
联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（3，2）．
（2）设平移后直线EF的解析式为y=-x+b，
将y=-x+b代入y=$\frac{6}{x}$中，-x+b=$\frac{6}{x}$，
整理得：x²-bx+6=0，
∴x_E+x_F=b，x_E•x_F=6．
∵A（2，3），B（3，2），EF=2AB，E点在F点左边，
∴x_F-x_E=$\sqrt{（{x}_{E}+{x}_{F}）^{2}-4{x}_{E}•{x}_{F}}$=$\sqrt{{b}^{2}-4×6}$=2（x_B-x_A）=2，
解得：b=±2$\sqrt{7}$，
∴x_E=-$\sqrt{7}$-1或x_E=$\sqrt{7}$-1，
∴点E的坐标为（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．
故答案为：（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系以及利用公式法求一元二次方程的解，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标；（2）利用根与系数的关系结合线段间的关系找出$\sqrt{{b}^{2}-4×6}$=2．