Question

6．已知：在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求证：G为CD的中点．
（2）若CF=2.5，AE=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）通过证△ECG≌△DCF得到CG=CF，结合已知条件知CG=$\frac{1}{2}$CD，即G为CD的中点．
（2）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可．

解答 （1）证明：如图，∵点F为CE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE
在△ECG与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠C=∠C}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG=CF=$\frac{1}{2}$CE．
又CE=CD，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
即G为CD的中点；

（2）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2.5，
∴DC=CE=2CF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．

点评 本题考查了平行四边形性质，勾股定理的运用，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．