Question

20．如图，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜边OA₂为直角边作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的面积为$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）⁴⁰²⁶．

Answer 1

分析 在直角三角形OA₁A₂中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到OA₂=2A₁A₂，由A₁A₂的长求出OA₂的长，在直角三角形OA₂A₃中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A₂OA₃等于A₂A₃与OA₂的比值，求出A₂A₃的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出OA₃的长，同理求出A₃A₄的长，以此类推得到直角三角形△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的两条直角边的长，求出面积．

解答 解：在Rt△OA₁A₂中，A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，
∴OA₁=1÷tan30°=$\sqrt{3}$，OA₂=$\sqrt{3}$÷cos30°=2，
在Rt△OA₂A₃中，OA₂=2，∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，
∴A₂A₃=OA₂tan∠A₂OA₃=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OA₃=OA₂÷cos∠A₂OA₃=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
由此可知OA₂=OA₁×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OA₃=OA₁×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
则OA₂₀₁₄=OA₁×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹³，
则Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的面积为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）²⁰¹³×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）²⁰¹³=（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）⁴⁰²⁵．

点评 此题考查了勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，属于规律型试题，利用了转化的思想，锻炼了学生归纳总结的能力．