Question

5．已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴，y轴的交点分别为A，B，将∠OBA对折，折痕交x轴于点C，一过点B的抛物线顶点恰好在点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求出抛物线的解析式：
（2）Q为线段BC上一点，请求出|QA-QO|的取值范围；
（3）在x轴上有一点D（1，0），连接BD，在△BCD中有一点E，E点到△BCD各顶点的距离相等，直线DE交抛物线的对称轴于点F．
①在图2中作出点E和点F，并求出点E的坐标；
②当x＞-1时，在直线CE和抛物线上是否分别存在点M和点N，使四边形FCMN为特殊梯形？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据题意，根据坐标轴上点的坐标特征得到A，B点的坐标，进一步得到OA，OB的长，根据三角函数得到点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出AB-BO，AC-OC的值，即可求出|QA-QO|的取值范围；
（3）①先得到△BCD是等边三角形，再根据三角形重心的定义即可得到点E的坐标；
②分两种情况讨论得到四边形FCMN为等腰梯形或四边形FCMN为直角梯形．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×0+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
当y=0时，0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，解得x=3；
则A（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$），
OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
由折叠的性质可知，∠CBO=30°，
∴OC=BO•tan∠CBO=1，
∴C（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）²，依题意有a（0+1）²=$\sqrt{3}$，解得a=$\sqrt{3}$．
故抛物线的解析式为y=$\sqrt{3}$（x+1）²=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）∵AB-BO=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
AC-OC=（3-1）-1=1，
∴1≤|QA-QO|≤$\sqrt{3}$；
（3）①如图2所示：

∵BC=CD=BD=2，
∴△BCD是等边三角形，
∴E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②当M₁（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$），N₁（-$\frac{1}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{9}$）和M₂（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），N₂（0，$\sqrt{3}$）（与点B重合）时，四边形FCMN为等腰梯形；
当M₃（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-1，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），N₃（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）和M₄（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N₄（0，$\sqrt{3}$）（与点B重合）时，四边形FCMN为直角梯形．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，三角函数，待定系数法求抛物线的解析式，等边三角形的判定和性质，梯形的性质，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．