Question

15．如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（　　）

• A． 随P点运动而变化，最大值为$\sqrt{3}$
• B． 等于$\sqrt{3}$
• C． 随P点运动而变化，最小值为$\sqrt{3}$
• D． 随P点运动而变化，没有最值

Answer 1

分析 当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，求出EF的长，得到MN的长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案．

解答 解：如图，当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，
根据垂径定理，MN=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠AOD=120°，PM⊥AB，
∴∠PMN=30°，∠P=60°，
在Rt△PEF中，PE=4，则EF=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\sqrt{3}$，
点P移动时，由题意，∠P=60°，
根据在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等，
即弦长为2$\sqrt{3}$，∴MN=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理和锐角三角函数的运用，求出特殊情况下的MN的值是解题的关键，解答时，要灵活运用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系．