Question

3．已知：在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：
（1）△ACD≌△BAE；
（2）BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，然后根据“SAS”可证明△ACD≌△BAE；
（2）由△ACD≌△BAE得∠ABE=∠CAD，再利用三角形外角性质可计算出∠BPD=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到PB=2PQ．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，
在△ACD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BAE；
（2）∵△ACD≌△BAE，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPD=∠ABP+∠BAP，
∴∠BPD=∠EAP+∠BAP=∠BAE=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，
在Rt△PBQ中，∵∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP，
即PB=2PQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了全等三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．