Question

4．（1）引入：
如图1，直线AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC，直线BC是否与⊙O相切，为什么？
（2）引申：
如图2，记（1）中⊙O的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与OB的延长线相交于点B′，与AB的延长线相交于点E，与OP的延长线相交于点C′，找出图2中与C′P相等的线段，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OC⊥OA，易得∠APO+∠OAB=90°，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO，∠CBP=∠CPB，等量代换可得∠CBP+∠OBA=90°，即∠OBC=90°，由切线的判定定理得出结论；
（2）由（1）可得∠OAB+∠C′PE=90°，等量代换可得∠ABO+∠C′PE=90°，由∠EBB′+∠BEB′=90°，∠EBB′=∠ABO，易得∠C′PE=∠BEB′，得出C′P=C′E．

解答 解：（1）相切，
∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，
∴∠APO+∠OAB=90°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABO，
∵PC=PB，∴∠CBP=∠CPB，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CBP+∠OBA=90°，即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC
∵OB为半径，
∴BC与⊙O相切；

（2）C′P=C′E，
∵∠OB′C′=90°，∠APO+∠OAB=90°，且∠APO=∠C′PE，
∴∠OAB+∠C′PE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO，
∴∠ABO+∠C′PE=90°，
∵∠EBB′+∠BEB′=90°，且∠EBB′=∠ABO，
∴∠C′PE=∠BEB′，
∴C′P=C′E．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质及判定和切线的判定定理，利用等腰三角形的性质和等量代换是解答此题的关键．