【题目】如图,在正方形ABCD中,P是BC上一动点,(不与B、C重合)① CE平分∠DCF,② AP⊥PE,③ AP=EP.以此三个条件中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①② ③,①③ ②,②③ ①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明.
【答案】(1)①②③;①③②;②③①上述三个命题均正确;(2)①②③,①③②,②③①证明见解析.
【解析】
(1)三个命题都成立;
(2)在AB边上截取BM=BP,连结MP.通过证明△AMP≌△PCE,可证明①② ③;过E点作EN⊥PF,通过证明△ABP≌△PNE,可证明①③ ②;过E点作EN⊥CF,通过证明△ABP≌△PNE,可证明②③①.
(1)①②③;①③②;②③①上述三个命题均正确;
(2)证明①②③
在AB边上截取BM=BP,连结MP.
∵BM=BP,∴∠BMP=∠BPM=45°,AM=PC,∴∠AMP=135.
∵ABCD是正方形,CE平分∠DCF,∴∠PCE=135,∴∠AMP=∠PCE.
∵AP⊥PE,∴∠APB+∠EPC=90°.
∵∠BAP+∠APB=90°,∴∠BAP=∠EPC.
在△AMP和△PCE中,∵∠BAP=∠EPC ,AM=PC,∠AMP=∠PCE,∴△AMP≌△PCE,∴PA=PE.
证明①③②
过E点作EN⊥PF.
CE平分∠DCF,∴∠ECN=90°÷2=45°,∴△ECN是等腰直角三角形,∴EN=CN.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC.
又∵PA2=AB2+BP2,PE2=PN2+EN2,∴AB2+BP2=PN2+EN2,∴(BP+PC)2+BP2=(PC+CN)2+CN2,∴2BP2+2BPPC=2CN2+2CNPC,∴BP2-CN2+BPPC-CNPC=0,∴(BP+CN)(BP-CN)+PC(BP-CN)=0,∴(BP+CN+PC)(BP-CN)=0,∴BP=CN=EN.
在Rt△ABP和Rt△PNE中,∵AP=PE,BP=EN,∴△ABP≌△PNE,∴∠APB=∠PEN.
∵∠EPC+∠PEN=90°,∴∠APB+∠EPC=90°,∴∠APE=90°,∴PA⊥PE.
证明②③①
过E点作EN⊥CF.
∵EN⊥CF,∴∠EPN+∠PEN=90°.
∵PA⊥PE,∴∠APB+∠EPN=90°,∴∠APB=∠EPN.
在△ABP和△PNE中,∵∠APB=∠EPN ,∠B=∠PNE=90°,AP=PE,∴△ABP≌△PNE,∴BP=EN,AB=PN.
又∵AB=BC,∴BP=EN=CN,∴∠ECN=45,∴CE平分∠DCF.
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【题目】已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
(2)求使-2的值为整数的整数k的值.
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【题目】如图,要在平行四边形内作一个菱形.甲,乙两位同学的作法分别如下:
对于甲乙两人的作法,可判断( )
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确C.甲,乙均正确D.甲、乙均错误
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【题目】某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营,向东走为正,向西走为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下:.
(1)将最后一名乘客送到目的地,出租车离鼓楼出发点多远?在鼓楼的什么方向?
(2)若每千米的价格为2.4元,司机一个下午的营业额是多少?
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【题目】图①是一张∠AOB=45°的纸片折叠后的图形,P、Q分别是边OA、OB上的点,且OP=2 cm.将∠AOB沿PQ折叠,点O落在纸片所在平面内的C处.
(1)①当PC∥QB时,OQ= cm;
②在OB上找一点Q,使PC⊥QB(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,求OQ的长.
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【题目】如图,⊙O的直径AD长为6,AB是弦,∠A=30°,CD∥AB,且CD=.
(1)求∠C的度数;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)求阴影部分面积.
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【题目】和有一条公共边,且,是的平分线,是的平分线.
(1)画出图形;
(2)若,,求的大小;
(3)通过对以上的解题回顾,你发现与、三个角之间有怎样的大小关系?请把你的发现结论直接写出来.
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