Question

2．如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B?与点B是对应点，已知A，B′，A′在同一条直线上．
（1）求AA?的长；
（2）连接A?B，求△A′BC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意先求出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=4，再根据旋转的性质得A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，得出△CAA′为等腰三角形，从而得出∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=2，然后根据AA′=AB′+A′B′进行计算即可得出答案；
（2）延长A′C交AB于D，根据三角函数可求A′C，BD，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=2
∴AB=4，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=2，
∴AA′=AB′+A′B′=4+2=6．
（2）延长A′C交AB于D，
在Rt△A′CB′中，A′C=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{3}$，
则△A′BC的面积为2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$÷2=3．

点评 本题考查了旋转的性质：掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是本题的关键．也同时考查了含30度的直角三角形三边的关系．