Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．

（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意 解得 ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣x+2．

（2）

解：∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ．

∴顶点坐标（1， ），

∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 3+ 1=3．

（3）

解：

由 消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b= ，

当直线y=﹣ x+b经过点C时，b=3，

当直线y=﹣ x+b经过点B时，b=5，

∵直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，

∴ ＜b≤3．

【解析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题．（3）由 ，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=﹣ x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=﹣ x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．