Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD=2，则BF=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 DE和CB的延长线相交于G'点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，根据菱形的性质得A=180°-∠B=120°，AB=AD=2，AD∥BC，则∠1=∠G，再利用折叠的性质得∠1=∠2，DG=DA=2，EG=EA=1，∠3=∠A=120°，则∠4=60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HG=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则在Rt△DEH中利用勾股定理可计算出DE=$\sqrt{7}$，再证明∠2=∠G'得到FG'=FD，证明△AED≌△BEG'得到DE=G'E，所以FE⊥DG'，然后证明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比计算出DF=$\frac{14}{5}$，则FG=FD-DG=$\frac{4}{5}$，于是得到BF=FG=$\frac{4}{5}$．

解答 解DE和CB的延长线相交于G’点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，

∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A=180°-∠B=120°，AB=AD=2，AD∥BC
∴∠1=∠G'，
而E为AB的中点，
∴AE=BE=1，
∵△AED沿DE翻折得到△GED，
∴∠1=∠2，DG=DA=2，EG=EA=1，∠3=∠A=120°，
∴∠4=60°，
在Rt△EHG中，HG=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{1}{2}$，EH=$\sqrt{3}$EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DEH中，DE=$\sqrt{E{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（2+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵AD∥BG'，
∴∠1=∠G'，
∴∠G'=∠2，
∴FG=FD，
在△AED和△BEG'中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠G'}\\{∠AED=∠BEG'}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BEG'，
∴DE=G'E，
∴FE⊥DG'，
∴∠FED=90°，
∵∠HDE=∠EDF，
∴Rt△DEF∽Rt△DHE，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{DE}{DH}$，即$\frac{DF}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{5}{2}}$，
∴DF=$\frac{14}{5}$，
∴FG=FD-DG=$\frac{14}{5}$-2=$\frac{4}{5}$，
∴BF=FG=$\frac{4}{5}$．
故答案为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．