Question

10．已知抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，且A（-1，0）
（1）一元二次方程ax²-2ax+c=0的解是-1，3
（2）一元二次方程ax²-2ax+c＞0的解集是-1＜x＜3
（3）若抛物线的顶点在直线y=2x上，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可；
（2）根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集；
（3）根据抛物线经过点A，将其代入，用含a的式子表示出c，求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可．

解答 解：（1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x=$-\frac{-2a}{2a}=1$，
∵点A（-1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∴一元二次方程的解为：-1，3；
故答案为：-1，3；
（2）∵二次函数与y轴正半轴交于点C，
∴抛物线的开口向下，
∴当ax²-2ax+c＞0时，不等式的解集为：-1＜x＜3；
故答案为：-1＜x＜3；
（3）∵抛物线经过点A（-1，0），
∴a+2a+c=0，
即：c=-3a，
∴-$\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=\frac{4ac-4{a}^{2}}{4a}=c-a$=-3a-a=-4a，
∵抛物线的顶点坐标（-1，-4a）在直线y=2x上，
∴-4a=2×（-1）=-2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴c=-3a=-3×$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴二次函数的解析式为：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数与x轴的交点，及二次函数与不等式的关系，在第（3）小题中，用含a的式子表示c是解决此题的关键．