Question

10．如图，已知在△ABC中，M是BC的中点，AE是∠BAC的平分线，过B作BD⊥AE，垂足为D，AM与BD相交于F，求证：EF∥AB．

Answer 1

分析 过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H，利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．

解答 证明：过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．

∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠BAE=∠G，
∴BA=BG．又BD⊥AG，
∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，
∴F到AB与BH的距离相等，
∴S_△ABF：S_△HBF=AB：BH，
∵S_△ABF：S_△HBF=AF：FH，
∴AB：BH=AF：FH．
∵AC∥BH，
∴∠MAC=∠MHB
在△ACM和△HBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠MHB}\\{∠AMC=∠HMB}\\{CM=BM}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△HBM
∴BH=AC．
∴AB：AC=AF：FH．
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AM-MF）=（BM+ME）：（BM-ME）
（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）．
由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME．
在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，
∴△MEF∽△MAB
∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质和角平分线，证明此题的关键是通过作辅助线，构造相似三角形．