Question

（2013•张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（-2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先构造直角三角形QBC，根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长，再根据余弦的定义即可求出结果．

解答：解：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QB，OP，BC，再连接QO并延长交⊙O于点C，则∠CBQ=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵B、Q分别是OA、AP的中点，
∴BQ∥OP，
∵点A坐标为（-4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（-2，0）．
∴OP=OB=BA=

1

2

OA=2，
∴QB=1
在Rt△CQB中，∠CBQ=90°
∴cos∠OQB=

QB

QC

=

1

4

．
故选C．

点评：点评：本题综合考查了三角形中位线定理，余弦的定义和圆的性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．