Question

（2013•张家港市二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论正确的是

①②③

①△ABC是等腰三角形       ②四边形EFAM是菱形
③S_△BEF=

1

2

S_△ACD        ④DE平分∠CDF．

Answer 1

分析：连接AE，得到BE=CE，再由BC=2AD，可得出AD=BE=CE，根据平行四边形的判定推出四边形ABED与四边形AECD都为平行四边形，再由∠BCD=90°得出四边形AECD为矩形，得出AE垂直平分BC，推出AB=AC，即可判断①；由EF为△ABC的中位线，利用中位线定理得到EF∥AC，进而得到四边形AFEM为平行四边形，求出AF=EF，可得出四边形AFEM为菱形，即可判断②；过F作FN⊥BC，得出FN∥AE，得出FN为△ABE的中位线，FN为DC的一半，再由BE=AD，根据三角形的面积公式求出，即可判断③．

解答：解答：连接AE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=

1

2

BC，
又∵BC=2AD，
∴AD=BE=EC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，
又∵∠DCB=90°，
∴四边形AECD为矩形，
∴∠AEC=90°，
即AE⊥BC，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，∴①正确；
∵E为BC的中点，F为AB的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，
∵F为AB中点，
∴AF=

1

2

AB，
∵AB=AC，
∴EF=AF，
又∵四边形ABED为平行四边形，
∴AF∥ME，
∵EF∥AC，
∴四边形AFEM为平行四边形，

∴四边形AFEM为菱形，∴②正确；
过F作FN⊥BC于N点，
则FN∥AE，
又∵F为AB的中点，
∴N为BE的中点，
∴FN为△ABE的中位线，
又∵AE=DC，BE=AD，
∴S_三角形BEF=

1

2

BE×FN=

1

2

×

1

2

CD×AD，S_三角形ACD=

1

2

AD×CD，
∴S_△BEF=

1

2

S_△ACD，∴③正确；
∵根据已知不能推出DE平分∠CDF，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，三角形的面积公式，线段的垂直平分线等知识点的综合运用，综合性比较强，有一定的难度．