Question

16．先计算下列各式：$\sqrt{1}$=1，$\sqrt{1+3}$=2，$\sqrt{1+3+5}$=3，$\sqrt{1+3+5+7}$=4，$\sqrt{1+3+5+7+9}$=5．
（1）通过观察并归纳，请写出：$\sqrt{1+3+5+…+（2n-1）}$=n．
（2）计算：$\sqrt{2+6+10+14+…+102}$=26$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；
（2）$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+6}$=$\sqrt{2+4×2-2}$=2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+6+10}$=$\sqrt{2+6+4×3-2}$=3$\sqrt{2}$，然后找出其中的规律进行计算即可．

解答 解：（1）$\sqrt{1}$=1；
$\sqrt{1+3}$=$\sqrt{1+（2×2-1）}$=2
$\sqrt{1+3+5}$=$\sqrt{1+3+（2×3-1）}$=3，
$\sqrt{1+3+5+7}$=$\sqrt{1+3+5+（2×4-1）}$=4，
$\sqrt{1+3+5+7+9}$=$\sqrt{1+3+5+7+（2×5-1）}$=5，
…
观察上述算式可知：$\sqrt{1+2+5+…+（2n-1）}$=n．
（2）$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
$\sqrt{2+6}$=$\sqrt{2+4×2-2}$=2$\sqrt{2}$，
$\sqrt{2+6+10}$=$\sqrt{2+6+4×3-2}$=3$\sqrt{2}$，
…
$\sqrt{2+6+10+14+…+102}$=$\sqrt{2+6+10+14+…+2×26-2}$=26$\sqrt{2}$．
故答案为：3；4；5；（1）n；（2）26$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．