Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC，AB＝6，点E是斜边AB上的一点（端点A、B除外），将△CAE绕C逆时针旋转90°至△CBF，连接EF，且EF的中点为O，连OB、OC，设AE＝x，

（1）求证：OB＝OC；

（2）用x表示△BEF的面积S△BEF，并求S△BEF的最大值；

（3）用x表示四边形BECF的周长C，并求C的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）12．

【解析】

（1）由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得∠ECF＝90°，∠EBF＝90°，然后再由直角三角形的性质可得结论；

（2）由三角形面积公式可求得S△BEF与x的关系式，然后根据二次函数的性质求解即可；

（3）易得四边形BECF的周长C＝6+2CE，于是当CE⊥AB时，CE的值最小，亦即四边形BECF的周长C最小，然后由等腰直角三角形的性质求解即可．

解：（1）证明：∵Rt△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵将△CAE绕C逆时针旋转90°至△CBF，

∴∠A＝∠CBF＝45°，AE＝BF，CE＝CF，∠ECF＝90°，

∴∠EBF＝∠ABC+∠CBF＝90°，

∵EF的中点为O，∴CO＝EF，BO＝EF，

∴BO＝CO；

（2）∵AE＝BF＝x，AB＝6，∴BE＝6﹣x，

∴S△BEF＝BE×BF＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，

∴当x＝3时，S△BEF的最大值为；

（3）∵四边形BECF的周长C＝BE+BF+CE+CF＝BE+AE+2CE＝6+2CE，

∴当CE的值最小时，四边形BECF的周长C有最小值，

∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE＝AB＝3，

∴四边形BECF的周长C最小值＝6+2×3＝12．