Question

如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且OB＞OA．设点C（0，-4），OA²+OB²=17，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设上述抛物线的顶点为P，求直线PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题意分别求出A、B、C三点坐标，再将A、B、C三点坐标代入y=ax²-+bx+c即可求得抛物线的解析式；
（2）先抛物线的解析式求出顶点P的坐标，进而便可求出直线PB的解析式．

解答：解：（1）∵OA、OB是方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．
∴OA+OB=mOA•OB=2（m-3），（1分）
∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=17，
∴m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，（1分）
∴m₁=5，m₂=-1，（1分）
∵OA+OB=m＞0，
∴m=-1（舍去），（1分）
当m=5时，x²-5x+4=0，
∴x₁=1．x₂=4，（1分）
∵OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
按题意得A（-1，0），B（4，0），
将A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）代入y=ax²-+bx+c，
可得

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4

，
解得

a=1 b=-3 c=-4

，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4；（1分）

（2）∵y=x2-3x-4=(x-

3

2

)2-

25

4

，
∴点P(

3

2

， -

25

4

)，（1分）
设直线PB的解析式为y=kx+m，（1分）
则

4k+m=0 3 2 k+m=- 25 4

，
解得

k= 5 2 m=-10

，
即y=

5

2

x-10．（1分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的公式和解一元二次方程等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．