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【题目】如图,AB⊙O的直径,CD⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

(1)求证:DC=DE;

(2)若,AB=3,求BD的长.

【答案】(1)详见解析;(2)BD=1.

【解析】

(1)利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=E,进而得出答案;

(2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,利用勾股定理得出BD的长.

(1)证明:连接OC,

CD是⊙O的切线,

∴∠OCD=90°,

∴∠ACO+DCE=90°,

又∵EDAD,∴∠EDA=90°,

∴∠EAD+E=90°,

OC=OA,∴∠ACO=EAD,

故∠DCE=E,

DC=DE,

(2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,

RtEAD中,

ED=AD=(3+x),

由(1)知,DC=(3+x),

RtOCD中,OC2+CD2=DO2

1.52+[(3+x)]2=(1.5+x)2

解得:x1=﹣3(舍去),x2=1,

BD=1

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