【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证:DC=DE;
(2)若,AB=3,求BD的长.
【答案】(1)详见解析;(2)BD=1.
【解析】
(1)利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E,进而得出答案;
(2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,利用勾股定理得出BD的长.
(1)证明:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∴∠ACO+∠DCE=90°,
又∵ED⊥AD,∴∠EDA=90°,
∴∠EAD+∠E=90°,
∵OC=OA,∴∠ACO=∠EAD,
故∠DCE=∠E,
∴DC=DE,
(2)设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,
在Rt△EAD中,
∵,
∴ED=AD=(3+x),
由(1)知,DC=(3+x),
在Rt△OCD中,OC2+CD2=DO2,
则1.52+[(3+x)]2=(1.5+x)2,
解得:x1=﹣3(舍去),x2=1,
故BD=1
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【题目】如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置…,则正方形铁片连续旋转2017次后,点P的坐标为____________________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O是坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,则点E的坐标____________.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c都是常数,且a≠0)的图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a<b<0;③2a+c>0;④2a﹣b+1>0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某工厂需要在规定时间内生产1000个某种零件,该工厂按一定速度加工6天后,发现按此速度加工下去会延期4天完工,于是又抽调了一批工人投入这种零件的生产,使工作效率提高了,结果如期完成生产任务.
(1)求该工厂前6天每天生产多少个这种零件;
(2)求规定时间是多少天.
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【题目】若正整数k满足个位数字为1,其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等,
我们称这样的数k为“言唯一数”,交换其首位与个位的数字得到一个新数k',并记F(k)=.
(1)最大的四位“言唯一数”是 ,最小的三位“言唯一数”是 ;
(2)证明:对于任意的四位“言唯一数”m,m+m'能被11整除;
(3)设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1(2≤x≤9,0≤y≤9且y≠1,x、y均为整数),若F(n)仍然为“言唯一数”,求所有满足条件的四位“言唯一数”n.
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