Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，求∠BFC的度数．
（2）若∠A=70°，求∠BFC的度数；
（3）若∠BFC=120°，求∠A的度数；
（4）根据上述信息，试探究∠A与∠BFC之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠FBC+∠FCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠FCB，求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可；
（4）根据角平分线的定义可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠FBC+∠FCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．

解答 解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，∠ABC=40°，∠ACB=50°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=25°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=135°；

（2）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=55°，
∴∠NFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=62.5°；

（3）∵∠BFC=120°，
∴∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC=60°，
∵∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=60°；

（4）∠BFC=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
理由是：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△FBC中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．