Question

10．在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，CD使斜边AB上的高，则三个直角三角形（△ABC，△ACD，△BCD）的内切圆半径的和等于$\frac{{ab\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中根据勾股定理得到AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，由CD是斜边AB上的高，根据三角形的面积公式得到CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，根据射影定理得到AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，AD=$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，BD=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，然后根据三角形内切圆的半径=$\frac{a+b-c}{2}$，即可得到结果．

解答 解：如图，在Rt△ABC中，∵BC=a，AC=b，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵CD是斜边AB上的高，
∴CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∵∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△BCD∽△ABC，
∴AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，
∴AD=$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，BD=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
设直角三角形△ABC，△ACD，△BCD的内切圆半径分别为：r₁，r₂，r₃，
∴r₁+r₂+r₃=$\frac{a+b-\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$+$\frac{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}+\frac{{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}-b}{2}$+$\frac{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}+\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}-a}{2}$=$\frac{2ab}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab\sqrt{{a}_{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
故答案为：$\frac{{ab\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，直角三角形的性质，射影定理，熟练掌握直角三角形的内切圆的半径=$\frac{a+b-c}{2}$是解题的关键．