Question

5．在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，DE交AF于H，HG⊥BC，连接DG，GE．
（1）证明：GH为△DGE的一条平分线；
（2）过H的一条直线交DF，AE分别于M，N，证明：GH为△MNG的一条角平分线．

Answer 1

分析 （1）首先延长ED与CB的延长线交于K，利用梅涅劳斯定理以及塞瓦定理得出$\frac{DK}{KE}$=$\frac{DH}{HE}$，进而由调和点列结论1得，GH平分∠DGE，求出即可；
（2）首先延长NM交BC于S，连接AM并延长，交BC于T，梅涅劳斯定理以及塞瓦定理得出$\frac{MS}{SN}$=$\frac{MH}{HN}$，进而由调和点列结论1得，GH平分∠MGN，求出即可．

解答 证明：（1）延长ED与CB的延长线交于K，
对于直线CBK截得△ADE，由梅涅劳斯定理得：
$\frac{AB}{BD}$•$\frac{DK}{KE}$•$\frac{EC}{CA}$=1①，
对于点F与△ADE，由塞瓦定理得：
$\frac{AB}{BD}$•$\frac{DH}{HE}$•$\frac{EC}{CA}$=1②，
①=②得：$\frac{DK}{KE}$=$\frac{DH}{HE}$，
∴线段DE被点H、K调和，
∵∠KGH=90°，
由调和点列结论1得，GH平分∠DGE，
即GH为△DGE的一条平分线；

（2）延长NM交BC于S，连接AM并延长，交BC于T，对于直线STC截得△AMN，
由梅涅劳斯定理得：$\frac{AT}{TM}$•$\frac{MS}{SN}$•$\frac{NC}{CA}$=1①，
对于点F与△AME，由塞瓦定理得：
$\frac{AT}{TM}$•$\frac{NH}{HN}$•$\frac{NC}{CA}$=1②，
①=②得，$\frac{MS}{SN}$=$\frac{MH}{HN}$，
∴线段MN被点H、S调和，
∵∠KGH=90°，
由调和点列结论1得，GH平分∠MGN，
即GH为△MNG的一条角平分线．

点评 此题主要考查了梅涅劳斯定理与赛瓦定理，根据题意正确应用梅涅劳斯定理与赛瓦定理得出正确等量关系是解题关键．