Question

15．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，点F在AD上，过点F作EG⊥AD，交AB于E，AC于G，猜测AE，AG，BD，BC之间是否成比例，并说明理由．

Answer 1

分析 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC与N，则四边形AMDN是矩形，根据矩形的性质得到∠1=∠2，由AF⊥EG，得到∠1=∠3，于是得到∠1=∠2=∠3，根据△ABC是等腰直角三角形，得到△BDM，△CDN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AN=MD，DN=NC，BD=$\sqrt{2}$MD，CD=$\sqrt{2}$NC，由于tan∠2=$\frac{BD}{CD}$=tan∠3=$\frac{AE}{AG}$，由于BC≠CD，于是得到AE，AG，BD，BC之间不能成比例．

解答 解：AE，AG，BD，BC之间不能成比例，
理由：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC与N，则四边形AMDN是矩形，
∴∠1=∠2，
∵AF⊥EG，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，
∵tan∠3=$\frac{AE}{AG}$，tan∠2=$\frac{AN}{DN}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴△BDM，△CDN是等腰直角三角形，
∴AN=MD，DN=NC，
∴BD=$\sqrt{2}$MD，CD=$\sqrt{2}$NC，
∴tan∠2=$\frac{BD}{CD}$，
∵∠2=∠3，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{BD}{CD}$，
∵BC≠CD，
∴$\frac{AE}{AG}≠\frac{BD}{BC}$，
∴AE，AG，BD，BC之间不能成比例．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．