Question

3．等腰△ABC中，∠A=60°，其面积为$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{27}$，它的内切圆面积为$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$π．

Answer 1

分析 根据有一个角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等边三角形，设它的内切圆的半径为r，求出三角形的边长和高代入三角形的面积公式解得r²=$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$，于是得到内切圆面积为：$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$π，

解答 解：∵△ABC是等腰三角形．
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设它的内切圆的半径为r，
∴BC=2$\sqrt{3}$r，高=3r，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$r•3r=$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{27}$，
解得：r²=$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$，
∴内切圆面积为：$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$π．
故答案为：$\frac{7+4\sqrt{3}}{81\sqrt{3}}$π．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的面积，圆的面积，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题的关键．