Question

如图，抛物线y=

1

3

x²-

2

3

x-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：如图，作辅助线；分别用α、β、γ来表示△AOC、梯形OCDE、△BDE的面积；根据面积公式列出关于m的方程，解该方程，即可解决问题．

解答：解：不存在；理由如下：
如图，连接AC、CD、BD；过D作DE⊥x轴；
设D点坐标为（m，n），则DE=-n，OE=m；
设△AOC、梯形OCDE、△BDE的面积为α、β、γ；
当x=0，y=-1；当y=0时，

1

3

x²-

2

3

x-1=0，
解得：x=-1或3，
∴OA=1，OC=1，OB=3，BE=3-m．
∵α=

1

2

×1×1=

1

2

，β=

1

2

(1+DE)•m，γ=

1

2

(3-m)•DE，
∴α+β+γ=

m+1

2

+

3DE

2

，而四边形ABDC的面积为3，
∴

m+1

2

+

3DE

2

=3，将DE=-n=-

1

3

m2+

2

3

m+1代入该式，
解关于m的方程得：m=4或-1，
∵点D在x轴下方的抛物线上，
∴m=-1或4均不合题意，
∴不存在这样的点D．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴的交点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将四边形的面积问题转化为三角形的面积问题，借助面积公式来列方程或不等式；运用方程或不等式的知识来分析、判断、推理或解答．